Questão de Concurso - Matemática - Geometria Espacial

UESPI - 2014 - CBM-PI - Soldado Bombeiro Militar  
Um copo tem a forma de um cilindro reto com raio da base medindo 4 cm e altura 20 cm. O copo está preenchido completamente com água. O copo é inclinado até que o plano da sua base forme um ângulo de 45º com a horizontal e, assim, certa quantidade de água derramará do copo. Qual o volume de água que restará no copo? Desconsidere a espessura da superfície do copo.

Se você fizer um desenho "em corte" desse cilindro de 20 cm de altura e de 4 cm de raio ( 8 cm de diâmetro), poderá observar, na figura do copo inclinado, que o nível da água ficará:
De um lado na borda do copo, portanto, a 20 cm do fundo do copo; e, do outro lado, a 8 cm da borda do copo, porque a figura que poderá ser observada (em corte) é a de um triângulo retângulo (vértice superior) isósceles, com catetos medindo 8 cm cada um.

Assim, o cilindro passará a ter as seguintes dimensões (quanto à água restante nele):
h1 = 20 cm
h2 = 20-8 = 12 cm

De modo que a altura média do nível da água será:
hm = (20+12)/2 = 32/2 = 16 cm

V = πr².(hm) = π.(4)².16 = π.16.16 = 256π cm³